鲸鱼的生态管理问题 摘要 本文旨在分析鲸鱼的生态管理问题。 针对问题一，在自然环境中的繁衍使用logistic模型建立微分方程并借此预测得长时间的鲸鱼数量将是b。在实际情况中，由于鲸的数量过多而采取捕鲸的措施时，鲸的实际增长率=鲸的自然增长率-捕获率，要使得鲸鱼不致灭绝的，通过建立的方程，得到最优解E=r2，即应发放r2张捕鲸证。 针对问题二当t时刻发生石油泄漏事故时，鲸鱼的数量骤减，随着污染被处理而减少，鲸鱼的减少速度也逐渐下降，参考马尔萨斯模型，建立函数描述由于事故而造成的鲸的数量的变化。当污染被处理完时，鲸鱼的数量又如同t时刻之前，都遵循logistic模型。采用分段函数的思想建立在t时刻前后的鲸鱼繁衍模型，并由此模型得到了t时刻前后的大致的鲸鱼数量的曲线图。 关键字：logistic模型 微分方程 捕获 自然繁衍 问题重述 一、某海域有鲸鱼生存，已知鲸鱼在自然环境中的数量降到 a 以下,该鱼种就会灭绝；而超过数量 b 以上，鲸鱼就会因疾病和缺乏足够食物而下降到 b 。 现在，该海域鲸鱼的数量已经多到影响该海域的生态链，渔业部决定通过发放捕鲸证的办法来控制鲸鱼的数量（一张捕鲸证只能捕杀一头鲸鱼）。 （1）建立鲸鱼在自然环境中繁衍的数学模型； （2）求解（1）中的数学模型，并借此预测长时间后鲸鱼数量； （3）为了鲸鱼不致灭绝，渔业部应发放的捕鲸证的张数。 二、某时该海域突然发生石油泄漏事故，导致鲸鱼生存环境变差 （1）上述所建鲸鱼的自然繁衍模型有何变化 （2）画出该天 时刻前后鲸鱼数量的曲线图。 问题分析 针对第一问的第一小问，我们将鲸鱼视为单种群生物，因此其在自然界中的繁衍规律与人口增长模型相似，由于受自然界中各种因素的影响本文选择用阻滞增长模型而不是马尔萨斯人口增长模型，由此建立微分方程求解模型。第二小问在第一问解得基础上即可完成。第三小问本文引入了捕获努力量和捕获能力系数，将题目要求的捕鲸证的张数转化为捕获努力量的求解。 针对第二问，由于石油的泄露对鲸鱼造成了很大的影响，因此鲸鱼的繁衍要分为几个不同的时段，但最终随着石油泄漏的处理，其繁殖状态逐渐回归到与问题一第一问中鲸鱼在自然环境下繁衍的规律。 模型假设 假设1:鲸鱼数量世代重叠，数量为连续变化，且当增长到某一程度时将不再增长。 假设 2:鲸鱼在空间分布是均匀的，没有迁入迁出(或迁入迁出平衡)。 假设 3:鲸鱼的出生率、死亡率为常数。 假设 4:不区分鲸鱼的个体大小、年龄、性别等。 假设 5:环境资源有限，且对每个个体的分配是均匀的。 符号说明 鲸鱼的增长率开始时鲸鱼的数量鲸鱼种群不灭绝所能承受的最低数量自然资源和环境的最大容纳量鲸鱼的出生率鲸鱼的死亡率时间变量时刻鲸鱼的种群密度捕获努力量 模型的建立与求解 5.1 模型一的建立与求解 5.1.1 问题一的建模与求解 5.1.1.1 问题一的模型建立 针对模型一所要求解的问题，我们可以近似的类比于人口增长模型，由题设所给的条件限制，我们可以近似认为鲸鱼在自然环境中繁衍的趋势与人口增长模型中的阻滞增长模型类似。 由题设条件可得，当鲸鱼的数量时，将会面临灭绝；当时，就会收到自然环境的约束而下降最终保持在左右。 在此，我们记时刻时鲸鱼数量为，时刻的鲸鱼数量为，由于量大，可视为连续、可微函数，则到时段内鲸鱼数量的增量为： 于是满足微分方程： 由于单种群模型与马尔萨斯人口模型类似，于是得： 其中=，满足的解为  eq \o\ac(○,1) 由题设要求可推断鲸鱼增长率为鲸鱼的函数(减函数)，因此可假设为，,叫固有增长率。 当时，增长率为0，，于是，代入得  eq \o\ac(○,2) 将 eq \o\ac(○,2)代入 eq \o\ac(○,1)得模型：  eq \o\ac(○,3) 5.1.1.2 问题一的模型求解 由上述 eq \o\ac(○,3)式可得： 两端同时除以得： 通过化简可得上式为一阶线性非齐次方程，因此方程 eq \o\ac(○,3)最终的解为：  eq \o\ac(○,4) 根据方程

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